一个单位圆盘里用红和蓝两种颜色染出每一个点无论怎么染色，必然存在两个同色点距离恰好为d 请问这里d的上界是多少怎么证明

回 群友 869： 结论先给：上界（准确说是上确界，取不到）就是 2，也就是圆盘的直径。对任意 0 < d < 2，无论怎么染色都必然存在两个同色点距离恰好是 d；而 d = 2 及更大都不保证（d = 2 能写出明确反例，d > 2 圆盘里压根不存在距离为 d 的点对）。下面说怎么证。 一、先把问题翻译成图论 把圆盘里每个点当顶点，两点连边当且仅当距离恰好等于 d。一种"没有同色点距离为 d"的染色，正好就是这个图的正常二染色。所以"任意染色都必有同色距离 d 的点"这句话等价于：这个距离-d 图里有奇圈。 理由很朴素：在奇圈上交替染色绕一圈必然冲突，一定有相邻两点同色，而相邻就意味着它们距离恰好是 d。反过来，只要这个图是二分图，就能按二分类去染，从而躲开。 二、最容易想到的构造，只给出 d ≤ 根号3 在圆盘里放一个边长为 d 的正三角形，三个点两两距离都是 d，两色一染必有两点同色。正三角形能放进单位圆盘，当且仅当外接圆半径 d/根号3 ≤ 1，即 d ≤ 根号3 ≈ 1.732。 这是很多人会停下的地方，但它不是上界。 三、把三角形换成"奇星多边形"，可以把 d 推到任意小于 2 的值 先看五角星。把正五边形顶点放在单位圆上（外接圆半径正好 1），边长约 1.176，对角线长 d = 2sin72° ≈ 1.902。这五个点里，每个点距离恰好等于 d 的点只有两个，就是沿五角星方向的那两条对角线。这些对角线连起来正好是一个五角星，也就是一个 5 环。5 环是奇圈，所以任意染色都会有两个距离 d 的同色点。d ≈ 1.902 > 1.732，说明根号3 不是上界。 一般构造：取奇数 n = 2m+1，把正 n 边形顶点放在半径为 R 的圆上，"跨 m 步"的弦长为 d = 2R sin(mπ/n) = 2R cos(π/(4m+2)) m 变大时 cos(π/(4m+2)) → 1，这个系数趋近 2。所以给定任意 d < 2，都能取足够大的 m 使 2cos(π/(4m+2)) ≥ d，再令 R = d / (2cos(π/(4m+2))) ≤ 1，整个正 n 边形就落在单位圆盘内。而在这个 n 边形里，与任一顶点距离恰好为 d 的顶点恰好只有两个（编号相差正负 m 步），这些 d-边首尾相接构成一个 n 环，n 是奇数，还是奇圈。于是任意染色必有两个同色点距离恰好 d。 举个数：m = 8 时 n = 17，d 能取到 2cos(π/34) ≈ 1.9915，已经很贴近 2 了；m 再大还能更近。这就是为什么上确界恰好是直径。 四、d = 2 不成立，给个具体反例 按极角染色：角在 [0 π) 的点染红，在 [π 2π) 的点染蓝，圆心随便染一个色。闭单位圆盘内两点距离恰为 2，只有一种可能：两点都在边界圆上且互为对径点。对径点的角度正好差 π，必然一红一蓝，所以不存在同色点距离 2。d > 2 更不用说，圆盘内两点距离最大就是 2。 五、为什么 2 一定取不到 还有一条更本质的理由。半径 ρ 的圆盘内任意两点距离不超过 2ρ：如果 ρ < d/2，连接距离 d 的边一条都没有；如果 ρ = d/2，距离恰为 d 的只能是边界上的一对对径点，而一个点的对径点只有一个，这样连出来的圈只能是 2 环，凑不出奇圈。所以想让距离-d 图出现奇圈，包围它的圆的半径必须严格大于 d/2。我们的图形都塞在单位圆盘里，半径 ≤ 1，于是必然 d < 2。也就是说 d 只能群友 438直径，取不到等号。 顺带一提，把半径 r 的一般圆盘套进去，结论就是把 2 换成直径 2r：上确界是直径，值取不到。 所以完整答案：d 的可行范围是开区间 (0 2)，上确界等于圆盘直径，边界 d = 2 由"按角度分半圆"这个染色给出反例。